1. Ada 20 siswa mempunyai nilai. Mean dari nilai mereka adalah 60. Kemudian ditambah beberapa siswa yg nilainya 70. Dan mean nya berubah menjadi 62. Hitunglah jumlah siswa yg ditambahkan!
Jawaban:
[(20 x 60) + (n x 70)]/(20+n) = 62
(1200 + 70n)/(20+n) = 62
1200 + 70n = 62 (20+n)
1200 + 70n = 1240 + 60n
70n - 60 n = 1240 - 1200
10 n = 40
n = 40/10
n = 4
2. Sebuah elips panjang sumbu mayornya = 30 cm dan sumbu minornya 10 cm. Tentukan keliling elips !?
Jawaban:
Ada rumus siap pakai. Lihat referensi saya di bahasan "infinite series 2." Akurat
Sumbu mayor elips: 2a= 30 --> a=15 cm
Sumbu mayor elips: 2b= 10 --> b=5 cm
h= (a-b)^2 / (a+b)^2 = (15-5)^2 / (15+5)^2 = 1/4
Jika pi = 3.14159..., maka keliling ellips
= pi (a+b) (1+ h/4 + h^2/64 + h^3/256 + ...)
= pi (20) { 1+ (1/4)/4 + (1/4)^2/64 + (1/4)^3/256 + ...}
= pi (20) { 1+ 1/16 + 1/1024 + 1/16384 + ...}
= pi (20) {1.063538 }
= (21.27075pi) cm
= 66.82404 cm
3. Ada dua pertanyaan
a. Apakah garis x + 2y = 5 sejajar dengan garis 2y = -x + 9?
b. Apakah garis 12x - y + 5 = 0 tegak lurus dgn garis 24y + 2x - 1 = 0?
Jawaban
a. Syarat untuk dua garis yang sejajar adalah gradien'nya sama, maka kita cari kedua gradien garis tersebut:
Untuk garis pertama, x + 2y = 5
2y = 5 - x
y = (5 - x)/2
Maka gradien'nya adalah -1/2
Kemudian untuk garis kedua, 2y = -x + 9
y = (-x + 9)/2
Maka gradien'nya adalah -1/2
Ternyata gradien kedua garis adalah sama (-1/2), sehingga kedua garis tersebut sejajar.
b. Sedangkan syarat untuk dua garis yang tegak lurus adalah m1.m2 = -1
Untuk garis pertama, 12x - y + 5 = 0
y = 12x + 5
Maka m1 = 12
Untuk garis kedua, 24y + 2x - 1 = 0
24y = 1 - 2x
y = (1 - 2x)/24
Maka m2 = -1/12
Dari kedua garis ini dapat dilihat bahwa m1.m2 = -1 , maka kedua garis ini tegak lurus.
Atau:
a. garis x + 2y = 5 sejajar dengan garis 2y = -x + 9?
Jawab : pertama mencari gradien (m) pada garis x + 2y = 5 (anggap gradien di garis ini m1)
2y = 5 - x, semua dibagi 2, agar y = 1 menjadi :
2/2y = 5/2 - 1/2x, didapat
y = 5/2 - 1/2x
rumus gradien (m) : y = mx
m1 = -1/2
trus mencari gradien pada garis 2y = -x + 9 (anggap gradien di garis ini m2)
2y = -x + 9, semua dibagi 2, agar y = 1 menjadi :
2/2y = -1/2x + 9/2, didapat
y = -1/2x + 9/2
m2 = -1/2
syarat gradien sejajar adalah m1 = m2 = -1/2 (kedua gradien garis cocok/sama)
kesimpulannya :garis x + 2y = 5 sejajar dengan garis 2y = -x + 9
b. garis 12x - y + 5 = 0 tegak lurus dgn garis 24y + 2x - 1 = 0?
jawab : cari gradien (m) pada garis 12x - y + 5 = 0 (anggap gradien garis ini m1)
12x - y + 5 = 0
-y = -12x - 5, semua dibagi -1 agar didapat y =1
y = 12x + 5
rumus gradien (m) : y = mx, didapat
m1 = 12
lalu cari gradien garis 24y + 2x - 1 = 0 (anggap gradien garis ini m2)
24y + 2x - 1 = 0
24y = -2x + 1, semua dibagi 24 agar y = 1
24/24y = -2/24x + 1/24
y = -1/12x + 1/24
rumus gradien (m) : y = mx, didapat
m2 = -1/12
syarat gradien tegak lurus adalah m1 x m2 = -1
m1 x m2 = -1, masukkan nilai m1dan m2
12 x (-1/12) = -1
-12/12 = -1 (-12 dibagi 12 = -1)
-1 = -1 (cocok/sama)
kesimpulannya : garis 12x - y + 5 = 0 tegak lurus dgn garis 24y + 2x - 1 = 0
Intinya kedua soal ini harus mencari persamaan kedua gradien dengan menggunakan rumus gradien tegak lurus dan sejajar....
4. 3x^2 + 9x = p... carilah nilai p jika :?
Jawaban:
X1^2 - X2^2 = 63
(x₁ - x₂)² = (x₁ + x₂)² - 4 x₁x₂
(x₁ - x₂)² = (-3)² - 4 (-⅓ p) = 9 + (4/3)p
(x₁ - x₂) = ±√(9 + (4/3)p)
x₁² - x₂² = (x₁ + x₂)(x₁ - x₂) = 63
x₁² - x₂² = (-3)[±√(9 + (4/3)p)] = 63
(9 + (4/3)p) = (∓ 21)²
(4/3)p = 432
p = 324
Ingat:
Ax^2 + Bx+ C= 0 dengan akar-akar x1 dan x2.
x1+ x2 = -B/A
x1.x2 = C/A
--------------------------------------…
3x^2 + 9x - p = 0
x1+ x2 = -9/3 = -3 .........................Persamaan no. (1)
x1.x2 = -p/3 .................................. Persamaan no. (2)
x1^2 - x2^2 = 63 ................Diketahui
(x1-x2).(x1+x2) = 63 ...........Ganti (x1+x2) dengan persamaan no. (1) di atas
(x1-x2).(-3) = 63
x1-x2 = -21 ......................... Persamaan no. (3)
x1+ x2 = -3 .........................Lihat persamaan no. (1).
x1 - x2 = -21 ........................Lihat persamaan no. (3)
Persamaan (1) + Persamaan (3)
2x1 = -24
x1 =-12
Persamaan (1) - Persamaan (3)
2x2 = 18
x2 = 9
x1.x2 = -p/3 ......................... Lihat persamaan no. (2) di atas
(-12)(9) = -p/3
p = 324
5. Tentang membuat model matematika yg berkaitan dgn SPLDV
soal:1.Jumlah 2 bilangan adalah 145 dan selisihnya adalah 47.Berapakah bilangan itu ?
Jawaban:
Bilangan 1 = x
Bilangan 2 = y
x + y = 145
x - y = 47
x = 145 - y
y = 145 - x
x = 47 + y
y = x - 47
Mencari x
x = 145 - (x - 47)
x = 192 - x
2x=192
x = 96
Mencari y
y = x - 47
y = 96 - 47
y = 49
6. 1. Setiap dong adalah ding dan beberapa dung juga dong.
X: Terdapat dong yang ding sekaligus dung
Y: Beberapa ding adalah dung
Z: Terdapat dong yang bukan dung.
Pernyataan yang benar adalah:
A. hanya X
B. hanya Y
C. hanya Z
D. X dan Y
E. semua salah
____________________
2. Jika diberikan persamaan (x² - x - 1)^(x+2) = 1, banyaknya bilangan bulat x yang merupakan solusi dari persamaan tersebut adalah ....
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
E. 6
____________________
3. Titik A (a,b) disebut titik letis jika a dan b keduanya adalah bilangan bulat. Banyaknya titik letis pada lingkaran yang berpusat di O dan berjari - jari 5 adalah ....
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
E. tidak dapat dipastikan
Jwb.
1.dong = ding
dong = a x dung
dong = ding > dung,
Pernyataan X : dong = ding + dung >>>>> salah, karena seharusnya dong = ding, jika dong = ding + dung nilai ding + dung akan lebih besar dari dong, dong < ding + dung
Pernyataan Y : a x ding = dung >>>>> salah, karena ini berarti ding < dung
Pernyataan Z : dong tidak sama dengan dung >>>>> benar
jawaban = C
2a^b =1 bila:
(1) a=1, untuk sembarang b
(2) b=0, untuk sembarang a (tapi a tidak sama dengan 0)
Coba jawab soal (x² - x - 1)^(x+2)=1. Mirip kan?
a=(x² - x - 1)
b=(x+2)
(1) a=1, untuk sembarang b
(x² - x - 1)=1
x² - x - 2=0
(x - 2)(x + 1)=0
x=2 or x= -1
(2) b=0, untuk sembarang a (tapi a tidak boleh 0).
b=(x+2)=0
x=-2 --> a=(x² - x - 1)=(-2)^2-(-2)-1=5
a bukan nol, OK!
HP= { -2,-1,2} --> 3 bilangan bulat. (JAWABAN: OPTION B)
3. titik letis (a,b), jika a dan b bilangan bulat (integer).
Lingkaran, pusat di O, jari - jari 5, rumusnya
x^2+ y^2 = 5^2
Amati bahwa domain nilai x hanya berkisar dari -5 sampai 5
himpunan domain x yang merupakan bil. bulat adalah {-5, -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}. Cobalah satu-persatu.
x= -5, y=0 --> (-5,0) --> 1 buah titik letis
x= -4, y=+-3 --> (-4,-3), (-4,3) --> 2 buah titik letis
x= -3, y=+-4 --> (-3,-4), (-3,4) --> 2 buah titik letis
x=-2, y=+- akar(21)
x=-1, y=+- akar(24)
x=0, y=+-5 --> (0,-5),(0,5) --> 2 buah titik letis
x=1, y=+- akar(24)
x=2, y=+- akar(21)
x=3, y=+-4 --> (3,-4), (3,4) --> 2 buah titik letis
x=4, y=+-3 --> (4,-3), (4,3) --> 2 buah titik letis
x=5, y=0 --> (5,0) --> 1 buah titik letis
Mari kita total banyaknya titik letis di atas. Ada 12 titik letis, bukan? Jadi, JAWABANNYA: OPTION D (12)
7. Tentukan persamaan garis yang melalui (0,0) dan titik-titik dibawah ini. a. (-3,1) b. (2,-3) c. (7,2) (-5,-2)?
a. y-y1 = x-x1
----- -----
y2-y1 x2-x1
y-1 = x-(-3)
---- -------
0-1 0-(-3)
y-1 = x+3
----- ------
-1 3
3y-3 =-x-3
3y = -x
Y= -1/3 X
b. y-(-3) = x-2
------- ----
0-(-3) 0-2
y+3 = x-2
----- -----
3 -2
-2y-6 = 3x-6
-2y = 3x
Y = - 3/2 X
c.untuk titik ( 7,2) caranya sama saja, kan ketemu gradiennya.
Lalu buat titik ( -5,-2), memakai rumus persamaan : y-y1= m(x-x1)
8. Persamaan : x^2 - px + 24 = 0
jika selisih kedua akar2 nya adalah 5..
hitunglah harga p ?
jawaban:
a = 1
b = -p
c = 24
X1 - X2 = (akar dari ((b^2) - 4ac))/a = (akar dari (((-p)^2) - 4(1)(24)))/1 = akar dari ((p^2) - 96)
akar dari ((p^2)-96) = 5 kedua ruas di kuadratkan . . .
(p^2) -96 = 25
p^2 = 25 + 96 = 121
p = 11 atau p = -11
9. “sebuah bilangan terdiri atas 3 angka. apabila bilangan tsb dibagi dgn bilangan yg diperoleh dari urutan terbalik ketiga angka tsb, akan menghasilkan 2 sisa 25. angka puluhan kurang satu dari 2 kali jumlah ratusan dan satuan. apabila angka satuan dikurangkan dari angka puluhan maka hasilnya adalah dua kali angka ratusan”
nah, yg ditanya 3 bilangan itu…
tolong solusinya yaaa… thanks~~
Jawabannya 371
sebaiknya lebih teliti membaca kata-kata nya...
Caranya :
y = puluhan
x = satuan
z = ratusan
y - z = 2x
y = 2x + z
y + 1 = 2x + 2z
(bukan y - 1 = 2x + 2z)
y = 2x + 2z - 1
2x + 2z - 1 = 2x + z
2z - 1 = z
z = 1
(100x + 10y + z)/(100z + 10y + x) = 2 + ((25)/(100z + 10y + x))
(100x + 10y + z)/(100z + 10y + x) =(200z + 20y + 2x + 25)/(100z + 10y + x)
100x + 10y + z = 200z + 20y + 2x + 25
98x + 10y + z = 200z + 20y + 25
98x + z = 200z + 10y + 25
98x = 199z + 10y + 25
subtitusikan z=1
98x = 199 + 10y + 25
98x - 10y = 224
subtitusikan y = 2x + z
98x - 20x - 10z = 224
78x - 10z = 224
subtitusikan z=1
78x - 10 = 224
78x = 234
x = 3
y = 2x + z = 2(3) + 1 = 6 + 1 = 7
maka bilangan tersebut adalah 371
10. Dik: A= {x |-3 ≤ x ≤ 5} dan
B= {x | x ≤ 2}
tentukan A п B (A iris B)
Diket :
A= {x |-3 ≤ x ≤ 5} dan
B= {x | x ≤ 2}
Ditanya :
A п B (A iris B)
Jawab :
1)
A= {x |-3 ≤ x ≤ 5}
Maka;
A= {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}
B= {x | x ≤ 2,x bil asli}
Maka;
B={1,2}
A п B (A iris B)
Maka;
A п B = {1,2}
A п B = {x l 1 ≤ x ≤ 2 }
2)
A= {x |-3 ≤ x ≤ 5}
Maka;
A= {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}
B= {x | x ≤ 2,x bil cacah}
Maka;
B={0,1,2}
Maka;
A п B = {0,1,2}
A п B = {x l 0 ≤ x ≤ 2 }
3)
A= {x |-3 ≤ x ≤ 5}
Maka;
A= {-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5}
B= {x | x ≤ 2,x bil bulat}
Maka;
B= {...,-3,-2,-1,0,1,2}
Maka;
A п B = {-3,-2,-1,0,1,2}
A п B = {x l -3 ≤ x ≤ 2 }
++
Ak bingung sm anggota himpunan B.. Anggota himp B,bsa bil asli,cacah,sma bulat..Krn bingung jd ak tulis smuax.
10. Tentukan pusat dan jari2 lingkaran berikut :
1. x^2 + y^2 = 32
2. (√2 + 1)x^2 + (√2 + 1)y^2 = (√2 + 1)
{10 point}
3. 2X^2 + 2Y^2 = 100
4. 3X^2 + 3Y^2 - 9/4 = 0
Jwb.
Rumus umum lingkaran (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2
di mana (a,b) = koordinat pusat lingkaran, & r = jari-jari lingkaran
1. (x-0)^2 + (y-0)^2 = 32
Pusat lingkaran = (0,0)
Jari-jari = √32 = 4 √2
2. (√2 + 1)x^2 + (√2 + 1)y^2 = (√2 + 1) --> (x-0)^2 + (y-0)^2 = 1
Pusat lingkaran = (0,0)
Jari-jari = √1 =1
3. 2X^2 + 2Y^2 = 100
X^2 +Y^2 = 50
Pusat lingkaran = (0,0)
Jari-jari = √50 =5√2
4. 3X^2 + 3Y^2 - 9/4 = 0
X^2 + Y^2 = 3/4
Pusat lingkaran = (0,0)
Jari-jari = (√3)/2
11. Limit x mendekati tak hingga (1 + 1/x)^x = ?
Jwb.
lim (x->tak hingga) (1 + 1/x)^x = e
Catatan: e=2.71828 18284 59045 23536…. atau basis dari logaritma natural)
12. 1) Sebuah kotak berisi huruf-huruf penyusun kata " MATEMATIKA " jika diambil sebuah huruf secara acak sebanyak 200 kali dengan ketentuan setelah diambil dikembalikan lagi maka frekuensi harapan terambil " T" adalah..........
2) Badan Meteorologi dan Geofisika ( BMG ) mencatat bahwa peluang sebuah bangunan rumah akan rusak jika terjadi gempa 5,9 skala Richter adalah 0,65. Bila terjadi gempa dengan kekuatan 5,9 skala Richter di suatu kota yang terdiri dari 20 ribu rumah, maka banyak rumah yang tidak rusak adalah...........
3) Selama 10 tahun terakhir, peluang Juventus menang melawan AC Milan adalah 55% dan keduanya seri 5% jika selama 10 tahun terakhir Juventus bertemu dengan AC Milan sebanyak 50 kali, maka AC Milan menang melawan Juventus sebanyak.............
Tolong ya aku sudah pusing sama matematika nih
nanti aku kasih * 5
Jwb.
1.
Pada tulisan MATEMATIKA terdapat 10 huruf dgn 2 huruf t jadi p(T)= 2/10
f= 200
fh(T)= 2/10 x 200
= 40 kali.
2.
f= 20000
p(R)= 0,65
P(R-complement)= 1-0,65=0,35
fh(R-complement)= 0,35x20000= 7000 rumah
3.
p(M)=55%
p(S)=5%
p(K)= 100%-55%-5%
=40%
f=50 kali.
Peluang AC M menang = peluang Juve kalah yaitu 40%
jadi fh AC M menang adalah
fh = 40% x 50
= 20 kali
13. Selisih panjang dan lebar suatu persegi panjang adalah 10 mc. Jika panjangnya dikurangi 6 cm dan lebarnya ditambah 4 cm akan menjadi persegi. Tentukan panjang, lebar, dan luas persegi panjang tersebut !
Jwb.
Luas persegi panjang = pj X lb = pj X (pj - 10) ----------- (A)
Luas persegi panjang = (pj - 6) X (lb + 4) = (pj - 6) X (pj - 10 + 4) = (pj - 6) X (pj - 6) ------------ (B)
A = B
pj X (pj - 10) = (pj - 6) X (pj - 6)
pj2 - 10pj = pj2 - 12pj + 36
- 10pj = - 12pj + 36
- 10pj + 12pj = 36
2 pj = 36
pj = 18 cm , lb = 18 - 10 = 8 cm , luas = 18 X 8 = 144 cm2
14. Bagaimana cara mencari rumus volum kerucut?
Jwb.
Cara lain menentukan volume kerucut adalah dengan kalkulus multivariabel.
Misalkan jari-jari alas R dan tinggi kerucut H
X(r,t,z) = r cos t
Y(r,t,z) = r sin t
Z(r,t,z) = z
determinan matriks Jacobian adalah:
.......|∂X/∂r....∂X/∂t....∂X/∂z|
|J| = |∂Y/∂r....∂Y/∂t....∂Y/∂z|
.......|∂Z/∂r....∂Z/∂t....∂Z/∂z|
.......|cos t....-r sin t....0|
|J| = |sin t.....r cos t....0| = r
.......|0..........0...........1|
Volume kerucut adalah:
.......R...2π...(-Hr/R + H)
V = ∫.....∫.........∫ |J| dz dt dr
.....0....0.......0
.......R...2π
V = ∫.....∫ Hr(R - r)/R dt dr
.....0....0
.......R
V = ∫ 2πHr(R - r)/R dr
.....0
V = ⅓ πR²H
15. Mana yang lebih besar nilainya .......?
a. 7 - (8+1/2):3
b. (21-8):3-16
Tidak ada komentar:
Posting Komentar